Les quantités et les raisons des quantités qui tendent continuellement à devenir égales pendant un temps fini, et qui avant la fin de ce temps approchent tellement de l'égalité, que leur différence est plus petite qu'aucune différence donnée, deviennent à la fin égale.
Si on le nie, qu'on suppose qu'elles soient à la fin inégales, et que leur derniére différence soit D, puisqu'elles ne peuvent pas approcher plus prés de l'égalité que de cette différence donnée D, leur différence ne sera donc pas plus petite que toute différence donnée, ce qui est contre l'hypothése.
Soient A et B des corps sphériques suspendus à des fils paralléles et égaux, AC, BD, attachés aux centres C et D, et soient décrits autour de ces points comme centres, et des intervalles AC, BD, les demi-cercles EAF, GBH séparés chacun en deux parties égales par les rayons AC, BD.
Si on éleve le corps A jusqu'au point quelconque R de l'arc EAF, et qu'ayant oté le corps B, on laisse tomber le corps A, et que ce corps, apres une oscillation,
revienne au point V, RV, sera le retardement causé par la resistance de l'air. Si on prend alors ST égale à la quatriéme partie de RV, et placé en telle sorte que RS = VT, ST exprimera à peu prés le retardement que le corps A éprouve en descendant de S vers A.
Qu'on remette présentement le corps B à sa place et qu'on laisse tomber le corps A, du point S, sa vitesse au point A ou il doit se reflechir, sera la même sans erreur sensible que s'il tombait du poin T dans le vide.
Cette vitesse sera donc exprimée par la corde de l'arc TA; car c'est une proposition connue de tous les géométres, que la vitesse d'un corps suspendu par un fil est au point le plus bas de sa chute, comme la corde de l'arc qu'il a parcouru en tombant.
Supposons que le corps A parvienne apres la reflexion en s' et le corps B en k, qu'on ote encore le corps B et qu'on trouve le lieu v' duquel laissant tomber le corps A, il revienne après une oscillation au lieu r', de plus s't' soit la quatriéme partie de r'v'placé en telle sorte que r's' = t'v'.
t'A exprimera la vitesse que le corps A avait en A l'instant d'aprés reflexion car t' sera le lieu vrai et corrigé auquel le corps A devrais remonter, si l'on faisait abstraction de la resistance de l'air.
On corrigera par la même méthode le lieu k, auquel le corps B remonte; et on trouvera le lieu l auquel il aurais du remonter dans le vide, et par ce moyen, on fera ces expériences aussi exactement dans l'air que dans le vide.
Enfin pour avoir le mouvement du corps A au lieu A, immédiatement avant la reflexion, il faudra multiplier le corps A, si je puis m'exprimer ainsi par la corde de l'arc TA
qui exprime sa vitesse; ensuite il faut le multiplier par la corde de l'arc t'A pour avoir son mouvement au lieu A, immediatement apres la reflexion. De même , il faudra multiplier le corps B par la corde de l'arc Bl, pour avoir son mouvement immédiatement apres la reflexion.
Par la meme méthode, lorsque deux corps tomberont en même temps de deux hauteurs différentes, on trouvera le mouvement de l'un et l'autre, tant avant qu'aprés la reflexion et l'on pourra toujours, par ce moyen, comparer ces mouvements entre eux, et en concluire les effets de la reflexions.
Suivant cette méthode, dans les expériences que j'ai fait avec des pendules de dix pieds de long auxquels j'avais suspendus tantot des corps egaux, tantôt des corps inégaux et que j'avais fait se choquer en tombant de trés haut, comme de 8, 12 et 16 pieds, j'ai toujours trouvé, à des differences prés, lesquels etaient moindres
que trois pouces dans les mesures, que lorsque les corps se rencontraient directement, les changements de mouvement vers les points opposés etaient toujours
égaux, et que par consequent la réaction doit toujours égale à l'action. Lorsque le corps A, par exemple, ayant 9 parties de mouvements venait à choquer le corps B repos, et qu'apres avoir perdu 7 parties de mouvements, il continuait aprés la reflexion à se mouvoir avec deux parties, le corps B rejaillissait avec ces 7 parties.
Si les deux corps allaient l'un vers l'autre, A avec 12 parties de mouvements, et B avec 6, et qu'aprés le choc A s'en retourna avec 2 parties, B s'en retourna avec 8, et il y'avait 14 parties de détruites de chaque coté.
Car si dumouvement de A, on en ote d'abord 12 parties, il ne lui reste rien, si on ote ensuite d'autres parties, il en nait 2 parties de mouvement en sens contraire: de même en otant 14 parties du mouvement du corps B, il en nait 8 parties vers le coté opposé.
Lorsque les deux corps allaient vers le même coté, A plus vite avec 14 parties du mouvement, et B plus lentement avec 5 parties, et qu'apres la reflexion le corps A continuait de se mouvoir avec 5 parties, le corps B continuait alors à se mouvoir avec 14 parties, en sorte que il avait acquis les 9 parties que le corps A avait perdu; il en était de même dans tous les autres cas.
La quantité de mouvement n'était jamais changé par le choc, elle se retrouvait toujours ou dans la forme des mouvements conspirants ou dans la différence des mouvements opposés; et j'ai attribué les erreurs d'un ou 2 pouces que j'ai trouvé dans les mesures à la difficultés de prendre ces mesures avec assez d'exactitude; car il etait difficile de faire tomber les pendules dans le même instants, en sorte que les corps se rencontrassent dans le lieu le plus bas AB; et de marquer exactement les lieux s' et k auxquels les corps remontaient apres le choc; et pouvait encore s'y meler d'autres causes d'erreurs, comme l'inégale densité des parties des corps suspendues, leurs différentes textures etc,.
Et enfin qu'on ne m'objecte pas que la loi que j'ai voulu prouver par ces expériences suppose les corps ou parfaitement durs ou parfaitment élastique, et que nous ne connaissons point de tels corps, j'ajouterais que ces expériences reussissent aussi bien sur les corps mols que sur les corps durs, et que par conséquent la vérité de ce principe ne dépend point de la dureté des corps; car si on veut l'appliquer aux cas ou les corps ne sont pas parfaitement durs, il faudra seulement diminuer la reflexion dans une certaine proportion relative à la quantité de la force élastique.
Dans la théorie de Wienn et d'Hugens, les corps absolument dur, apres s'etre choqué, s'éloignent l'un de l'autre avec la même vitesse qu'ils avaient dans le choc.
On peut l'assurer avec encore plus de certitude des corps parfaitement élastique. Dans les corps qui ne sont pas parfaitement élastique, la vitesse avec laquelle il s'en retourne apres le choc, doit etre diminuer relativement à la force élastique,et parceque cette force (pourvu que les parties des corps ne soient pas alterées par la collision, ou qu'elles ne souffrent point d'extension comme celle que cause le marteau)est constante et determinée, ainsi que je l'ai remarqué; elle fait que les corps rejaillissent avec une vitesse relative qui est à la vitesse qu'il avait avant le choc dans une raison donnée.
Je fis aussi cette experience avec des pelottes de laine tres serrées. Je commençais par determiner la quantité de la force élastique, en faisant tomber des pendules et en mesurant la reflexion: et ensuite connaissant cette force, j'en conclu les reflexions pour d'autres cas, et je trouvais que les expériences y répondaient.
Les pelottes s'éloigne toujours l'une de l'autre aprés le choc avec une vitesse relative, qui était à leur vitesse relative dans le choc, comme 5 à 9 environ.
Les boules d'acier rejaillissaient à peu prés avec leur même vitesse : les boules de liége rejaillissaient avec une vitesse un peu moindre; dans les boules de verres ces vitesses etaient à peu prés comme 15 à 16. Ainsi la troisiéme loi se trouve confirmée dans le choc et dans la reflexion des corps par la théorie, et la théorie, l'est par l'éxperience.
Je vais faire voir qu'elle l'est aussi dans les attractions.
La plus forte pression prefaudra, et imaginez entre les deux corps A et B un obstacle quelconque qui les empêche de se joindre. Si un des corps comme A est plus attiré vers B, que B vers A, l'obstacle sera plus préssé par le corps A que le corps B; ainsi il ne sera point en équilibre.
il arrivera que le systéme, composé de ces deux corps et de l'obstacle qui est entre deux, se mouvera en ligne droite vers B et qu'il s'en ira à l'infini dans le vide avec un mouvement continuellement accéleré, ce qui est absurde et contraire à la premiere loi du mouvement, car par cette premiere loi, ce systéme doit perseverer dans son état de repos ou de mouvement en ligne droite; ainsi ces deux corps doivent presser également cet obtacle, et etre par consequent tirés également l'un vers l'autre.
J'en ai fait l'expérience sur le fer et sur l'aimant. Si on pose l'aimant et le fer chacun séparé dans de petits vaisseaux sur une eau dormante, et que ces petits vaisseaux se touchent, ni l'un ni l'autre ne sera mu; mais ils soutiendront par l'égalité de leur attraction les éffots mutuels qu'ils font l'un sur l'autre, et étant en équilibre ils resterons en repos.
De même la gravité, entre la terre et ses parties est mutuelle; car supposé que la terre FI fut composé par un plan EG en deux parties EGF, EGI: les poids mutuels de ces parties l'une sur l'autre, serons égaux; car si la plus grande partie EGI est coupée par un autre plan HK parallèle au premier, en deux parties EGHK et HIK, desquels HIK = EFG : il est clair que la partie du milieu EGHK ne sera porté par son propre poids ni vers l'une, ni vers l'autre de ces parties, mais qu'elle restera en équilibre entre elles.
Qant à la partie HIK, elle pressera de tout son poids la partie du milieu vers l'autre partie EFG; donc la force avec laquelle la partie EGI, composée des parties HKI et EGHK, tend vers la troisiéme partie EFG, est égale au poids de la partie HIK, c'est-à-dire au poids de la troisieme
Anisi le poids de deux parties EGI, EFG, l'une sur l'autre est égal, ce que je voulais prouver. Et si ces poids n'étaient pas égaux, toute la terre qui nage librement dans l'ether céderait au plus grand de ces poids, et s'en irai à l'infini. De même que les corps qui se choquent se font partie EFG.
équilibre, quand leur vitesse sont reciproquement comme leur force d'inertie(ut vires infix:) les puissance qui agissent dans la mécanique se contrebalancent et detruisent leurs efforts mutuels, quand leurs vitesses dans la direction des forces sont reciproquement comme ces forces.
Ainsi des poids attachés au bras d'une balance font des efforts égaux pour pour la mouvoir, lorsque les poids sont reciproquement comme les vitesses qu'auraient les bras de la balance en haut et en bas, si elle venait à osciller; c'est-à-dire, que ces poids sont en équilibre, lorsque les bras de la balance montent et descendent perpendiculairement, s'ils sont entre eux reciproquement comme la distance du point de suspension au fleau de la balance; et si les bras de la balance montent et descendent obliquement, soit qu'ils soient soutenu par des plans obliques ou quelqu'autres obstacles les empechent de monter et de descendre perpendiculairement, les poids seront en equilibre, lorsqu'ils seront entre eux reciproquement, comme l'ascension et la descension perpendiculairement des bras de la balance; parceque la force de la gravité est toujours dirigée perpendiculairement vers la terre.
De même, dans la poulie ou dans le souffle, si la force de la main qui tire la corde directement, est au poids qui monte directement ou obliquement, comme la vitesse de son ascension perpendiculaire à la vitesse de la main qui tire la corde, il y'aura équilibre.
Dans les horloges et les autres machines dont la construction dépend du jeux de plusieurs roues, les forces contraires qui font des efforts pour les mouvoir et pour les retenir, se contrebalanceront mutuellement, si elles sont entre elles reciproquement comme les vitesses des parties des roues auxquelles elles sont imprimées.
La force de la vis pour presser un corps est à la force de la main qui tourne la manivelle, comme la vitesse circulaire de la manivelle dans la partie ou la main la fait tourner, est à la vitesse progressive de la vis vers le corps qu'elle presse.
Les forces avec lesquelles le coin presse les deux cotés du bois qu'il fend, sont à la force avec laquelle le marteau frappe le coin, comme le chemin que fait le coin dans la direction de la force que lui impriment les coups du marteau, est à la vitesse avec laquelle les parties du bois cédent au coin selon les lignes perpendiculaires aux faces du coin.
Il en est de même dans toutes les machines dont l'efficacité consiste en cela seulement, qu'en diminuant la vitesse on augmente la force et reciproquement; etc c'est par là qu'on résous ce probleme dans toutes les espéces de machines, que le poids étant donné, la force necessair pour le mouvoir est donnée, ou ce qui est la même chose, que la resistance etant donné, la force necessaire pour le surmonter est donnée aussi. Car lorsque les machines seront construites de façon que la vitesse de la puissance soit à celle de la resistance en raison renversée des forces; la puissances égalera la resistance; et si on augmente la vitesse de la resistance, elle vaicra aussitot la resistance.
Si la disparité des vitesses est assez grande pour vaicre toute espéces de resistances, tant celle qu'oppose la pésanteur des corps qu'on veut élever, que celle qui vient de la cohésion des corps qu'on veut séparer, et que celle qui est produite par le frottement des corps qui glissent les uns sur les autres,la force resultante produira une acceleration de mouvement qui lui sera proportionnelle, et qui sera partagée entre les parties de la machine, et le corps resistant; mais je ne me suis pas proposé ici de donner un traité de mécanique, j'ai voulu montrer seulement combien la troisiéme loi du mouvement est vrai, et combien son usage est répendu; car si on éstime l'action de l'agent par la force multipliée par la vitesse, et qu'on estime de même la reaction du corps résistant par la vitesse de chacune de ces parties multipliée par les forces qu'elles ont pour resister en vertu de leur cohesion, de leur attrition, de leur poids, et deleur attraction; l'action et la reaction se trouveront égales entre elles, dans les effets de toutes les machines.
Et toutes les fois qu'une action s'execute par le moyen d'une machine, et qu'elle parviens à etre imprimée dans un corps résistant, sa derniere determination est toujours contraire à la determination de la réaction de ce corps.
On a traité un cas d'un probléme plus genéral, qui consiste à développer une fonction quelconque en une suite infinie de sinus ou de cosinus d'arc multiples.
Cette question est liée à la théorie des équations aux différences partielles et a été agitée des l'origine de cette analyse.
Il était nécéssaire de la résoudre pour intégrer convenablement les équations de la propagation de la chaleur; nous allons en éxposer la solution.
On éxaminera, en premiere lieu, le cas ou il s'agit de reduire en une serie de sinus d'arc multiples, une fonction dont le développement ne contient que des puissances impaires de la variable. Désignant une telle fonction par φ x, on posera l'équation:
φ x = a sin x + b sin 2x + c sin 3x + d sin 4x + ..... etc.
Et il s'agit de déterminer la valeur des coefficients a, b, c, d, etc. On écrira d'abord l'équation:
φ x = x φ'0 + (x²/2) φ"0 + (x^3/2.3) φ'''0 + (x^4/2.3.4) φ''''0 + (x^5/2.3.4.5) φ'''''0 + ...... etc.
Dans laquelle φ'0, φ''0, φ'''0, φ''''0, etc, désigne les valeurs que prennent les coefficients:(d φ x / d x), (d^2 φ x / d x^2), (d^3 φ x / d x^3), (d^4 φ x / d x^4), etc.
Lorsqu'on y suppose x = 0. Ainsi en représentant le développement selon les puissances de x par l'équation:.
φ x = A x - B(x^3/2.3) + C(x^5/2.3.4.5) - D(x^7/2.3.4.5.6.7) + E(x^9/2.3.4.5.6.7.8.9) - etc, on aura:.
φ 0 = 0 et φ'0 = A.
φ''0 = 0 et φ'''0 = B.
φ''''0 = 0 et φ'''''0 = C.
φ''''''0 = 0 et φ'''''''0 = D.
etc et etc.
Si maintenant on compare l'équation précédente à celle-ci:.
φ x = a sin x + b sin 2x + c sin 3x + d sin 4x + e sin 5x ..... etc.
En développant le second membre par rapport aux puissances de x, on aura les équations:.
A = a + 2b + 3c + 4d + 5e + etc.
B = a + 2^3 b + 3^3 c + 4^3 d + 5^3 e + etc.
C = a + 2^5 b + 3^5 c + 4^5 d + 5^5 e + etc.
D = a + 2^7 b + 3^7 c + 4^7 d + 5^7 e + etc.
E = a + 2^9 b + 3^9 c + 4^9 d + 5^9 e + etc.
Ces équations doivent servir à trouver les coefficients a, b, c, d, e, etc, dont le nombre est infini. Pour y parvenir, on regardera d'abord comme déterminer et égale à m le nombre des inconnues, et l'on conservera un pareil nombre m d'équations; ansi l'on supprimera toute les équations qui suivent les m premières, et l'on ométtra dans chacune de ces équations tous les térmes du second membre qui suivent les m premiers que l'on conserve. Le nombre entier m etant donné, les coefficients a, b, c, d, e......etc. ont des valeurs fixes que l'on peut trouver par élimination.
On obtiendrait pour ces même quantités des valeurs différentes, si le nombre des équations et celui des inconnues était plus grand d'une unité. Ainsi la valeur des coefficients varie à mesure que l'on augmente le nombre de ces coefficients et celui des équations qui doivent les determiner.
Il s'agit de chercher quelles sont les limites vers lesquelles les valeurs des inconnues convergent continuellement à mesure que le nombre des équations devient plus grands.
Ces limites sont les véritables valeurs des inconnues qui satisfont aux équations précédentes lorsque leur nombre est infini.
On considerera donc successivement les cas ou l'on aurait à déterminer une inconnue par une équation, deux inconnues par deux équations, trois inconnues par trois équations, ainsi de suite à l'infini.
Supposons que l'on désigne comme il suit différents systémes d'équations analogues à celles dont on doit tirer les valeurs des coefficients:.
a_1 = A_1 ;;;;;;; a_2 + 2b_2 = A_2;;;;;;;;;; a_3 + 2b_3 + 3c_3 = A_3;;;;;;;;;;;;;;; a_4 + 2b_4 + 3c_4 + 4d_4 = A_4.
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;a_2 + 2^3b_2 = B_2;;;;;; a_3 + 2^3b_3 + 3^3c_3 = B_3;;;;;; a_4 + 2^3b_4 + 3^3c_4 + 4^3d_4 = B_4.
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; a_3 + 2^5b_3 + 3^5c_3 = C_3;;;;; a_4 + 2^5b_4 + 3^5c_4 + 4^5d_4 = C_4.
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; a_4 + 2^7b_4 + 3^7c_4 + 4^7d_4 = D_4.
; a_5 + 2b_5 + 3c_5 + 4d_5+ 5e_5 = A_5.
; a_5 + 2^3b_5 + 3^3c_5 + 4^3d_5+ 5^3e_5 = B_5.
; a_5 + 2^5b_5 + 3^5c_5 + 4^5d_5+ 5^5e_5 = C_5.
; a_5 + 2^7b_5 + 3^7c_5 + 4^7d_5+ 5^7e_5 = D_5.
; a_5 + 2^9b_5 + 3^9c_5 + 4^9d_5+ 5^9e_5 = E_5.
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; etc; (b).
Si maintenant on élimine la dernière inconnue e_5, au moyens des cinq équations qui contient A_5, B_5, C_5, D_5, E_5, etc, on trouvera :.
a_5(5^2 - I^2) + 2b_5(5^2 - 2^2) + 3c_5(5^2 - 3^2) + 4d_5(5^2 - 4^2) = 5^2 A_5 - B_5.
a_5(5^2 - I) + 2^3b_5(5^2 - 2^2) + 3^3c_5(5^2 - 3^2) + 4^3d_5(5^2 - 4^2) = 5^2 B_5 - C_5.
a_5(5^2 - I) + 2^5b_5(5^2 - 2^2) + 3^5c_5(5^2 - 3^2) + 4^5d_5(5^2 - 4^2) = 5^2 C_5 - D_5.
a_5(5^2 - I) + 2^7b_5(5^2 - 2^2) + 3^7c_5(5^2 - 3^2) + 4^7d_5(5^2 - 4^2) = 5^2 D_5 - E_5.
On aurait pu déduire ces quatre équations des quatre qui forment le système précédent, en mettant dans ces dernières au lieu de:.
a_4 ; (5^2 - I)a_5.
b_4 ; (5^2 - 2^2)b_5.
c_4 ; (5^2 - 3^2)c_5.
d_4 ; (5^2 - 4^2)d_5.
Et au lieu de:.
A_4 ; 5^2 A_5 - B_5.
B_4 ; 5^2 B_5 - C_5.
C_4 ; 5^2 C_5 - D_5.
D_4 ; 5^2 D_5 - E_5.
On pourra toujours par des substitutions semblables, passer du cas qui répond à un nombre m d'inconnues à celui qui répond à un nombre m+1. En écrivant par ordre toute ces relations entre les quantités qui répondent à l'un des cas et celles qui répondent au cas suivant, on aura:.
a_1 = a_2(2^2 - I).
a_2 = a_3(2^2 - I); b_2 = b_3(3^2 - 2^2).
a_3 = a_4(4^2 - I); b_3 = b_4(4^2 - 2^2); c_3 = c_4(4^2 - 3^2).
a_4 = a_5(5^2 - I); b_4 = b_5(5^2 - 2^2); c_4 = c_5(5^2 - 3^2); d_4 = d_5(5^2 - 4^2).
a_5 = a_6(6^2 - I); b_5 = b_6(6^2 - 2^2); c_5 = c_6(6^2 - 3^2); d_5 = d_6(6^2 - 4^2); e_5 = e_6(6^2 - 5^2)
a_6 = a_7(7^2 - I); b_6 = b_7(7^2 - 2^2); c_6 = c_7(7^2 - 3^2); d_6 = d_7(7^2 - 4^2); e_6 = e_7(7^2 - 5^2); f_6 = f_7(7^2 - 6^2) (c).
On aura aussi :.
A_1 = 2 A_2 - B_2.
A_2 = 3 A_3 - B_3; B_2 = 3 B_3 - C_3.
A_3 = 4 A_4 - B_4; B_3 = 4 B_4 - C_4; C_3 = 4 C_4 - D_4.
A_4 = 5 A_5 - B_5; B_4 = 5 B_5 - C_5; C_4 = 5 C_5 - D_5; D_4 = 5 D_5 - E_5 (d).
On conclut des équations (c) qu'en représentant par a, b, c, d, e,...etc, les inconnues dont le nombre est infini, on doit avoir:.
a = a_1 / ((2^2 - I)(3^2 - I)(4^2 - I)(6^2 - I)etc).
b = b_2 / ((3^2 - 2^2)(4^2 - 2^2)(5^2 - 2^2)(6^2 - 2^2)etc).
c = c_3 / ((4^2 - 3^2)(5^2 - 3^2)(6^2 - 3^2)(7^2 - 3^2)etc).
d = d_4 / ((5^2 - 4^2)(6^2 - 4^2)(7^2 - 4^2)(8^2 - 4^2)etc) (e).
Il reste donc à déterminer les valeurs de a_1 b_2 c_3 d_4 e_5 etc:.
La première est donnée par une équation, dans laquelle entre A_1; la seconde est donnée par deux équations dans lesquelles entre A_2 et B_2; la troisieme est donnée par trois équations dans lesquelles entre A_3, B_3 et C_3, ainsi de suite.
Il suit de là que si l'on connaissait les valeurs de A_1 ; A_2, B_2 ; A_3, B_3, C_3 ; A_4, B_4, C_4, D_4 etc, on trouverai facilement a_1 en résolvant une équation a_2 et b_2 en résolvant deux équations a_3, b_3 et c_3 en résolvant trois équations, ainsi de suite; après quoi on déterminerai a, b, c, d, e, etc. Il s'agit maintenant de calculer les valeurs de A_1 ; A_2, B_2 ; A_3, B_3, C_3 ; A_4, B_4, C_4, D_4 ; A_5, B_5, C_5, D_5, E_5 etc, au moyen des équations (d). I^0 on trouvera la valeur de A_1 en A_2 et B_2, 2^0 par deux substitutions on trouvera cette valeur de A_1 en A_3, B_3, C_3; 3^0 par trois substitutions on trouvera la même valeur de A_1 en A_4, B_4, C_4, D_4, ainsi de suite.
Ces valeurs successifs de A_1 sont:.
A_1 = A_2 2^2 - B_2.
A_1 = A_3 2^2 3^2 - B_3(2^2 + 3^2) + C_3.
A_1 = A_4 2^2 3^2 4^2- B_4(2^2 3^2 + 2^2 4^2 + 3^2 4^2) + C_4(2^2 + 3^2 + 4^2) - D^4.
A_1 = A_4 2^2 3^2 4^2 5^2 - B_5(2^2 3^2 4^2 + 2^2 3^2 5^2 + 2^2 4^2 5^2 + 3^2 4^2 5^2 ) + C_5(2^2 3^2 + 2^2 4^2 + 2^2 5^2 + 3^2 4^2 + 3^2 5^2 + 4^2 5^2) - D_5(2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) + E_5 etc,
dont il est aisé de remarquer la loi. La dernière de ces valeurs, qui est celle que l'on veut déterminer, contient les quantités A, B, C, D, E, etc avec une indice infinie, et ces quantités sont connues; elles sont les mêmes que celles qui entrent dans les équations (a).
En divisant cette dernière valeur de A_1 par le produit infinie 2^2 3^2 4^2 5^2 6^2 etc, on a:.
A-B((I/2^2) + (I/3^2) + (I/4^2) + (I/5^2) + etc ) + C((I/2^2 3^2) + (I/2^2 4^2) + (I/3^2 4^2) + etc ) + D((I/2^2 3^2 4^2) + (I/2^2 3^2 5^2) + (I/3^2 4^2 5^2) + etc ) + E((I/2^2 3^2 4^2 5^2) + (I/2^2 3^2 4^2 6^2) + etc ) + etc.
Les coefficients numériques sont les sommes des produits que l'on formerait par les diverses combinaisons des fractions I/I^2 , I/2^2 , I/3^2 , I/4^2 , I/5^2 , I/6^2 etc et, après avoir séparé la première fraction I/I^2.
Si l'on représente ces différentes sommes de produit par P_1, Q_1 , R_1, S_1 , T_1 etc et si l'on emploi la première des équations (e) et la première des équations (b), on aura pour exprimer la valeur du premier coefficient a, l'équation :.
a(((2^2 - I)(3^2 - I)(4^2 - I)(5^2 - I) etc)/(2^2 3^2 4^2 5^2 etc)) = A - B P_1 + C Q_1 - D R_1 + E S_1 - F T_1 + etc, or les quantités P_1 , Q_1 , R_1 , S_1 , T_1 etc, peuvent être facilement déterminées comme on le verra plus bas; donc le premier coéfficient a sera entièrement connu.
Il faut passer maintenant à la recherche des coefficients suivants b, c, d, e, f etc, qui d'après les équations (e) dépendent des quantités b_2, c_3, d_4, e_5, f_6 etc, on reprendra pour cela les équations (b); la première a déjà éte employé pour trouver la valeur de a_1, les deux suivantes donnent la valeur de b_2; les trois suivantes la valeur de c_3; les quatre suivantes la valeur de d_4, ainsi de suite.
En effectuant le calcul, on trouvera, à la seule inspection des équations, pour les valeurs de b_2, c_3, d_4, e_5 etc, les resultats suivants:.
2b_2(I^2 - 2^2) = A_2 I^2 - B_2.
3c_3(I^2 - 3^2)(2^2 - 3^2) = A_3 I^2 2^2 - B_3(I^2 + 2^2) + C_3.
4d_4(I^2 - 4^2)(2^2 - 4^2)(3^2 - 4^2) = A_4 I^2 2^2 3^2 - B_4(I^2 2^2 + I^2 3^2 + 2^2 3^2) + C_4(I^2 + 2^2 + 3^2) - D_4.
5e_5(I^2 - 5^2)(2^2 - 5^2)(3^2 - 5^2)(4^2 - 5^2) = A_5 I^2 2^2 3^2 4^2 - B_5(I^2 2^2 3^2 + I^2 2^2 4^2 + I^2 3^2 4^2 + 2^2 3^2 4^2) + C_5(I^2 2^2 + I^2 3^2 + I^2 4^2 + 2^2 3^2 + 2^2 4^2 + 3^2 4^2) - D_5(I^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) + E_5.
etc.
Or les quantités A_2 et B_2 peuvent être exprimer en A_3, B_3 et C_3, ces dernières en A_4, B_4, C_4 et D_4 etc.
Il suffit pour cela d'opérer les substitutions indiquées par les équations (d), ces changements successifs réduiront les seconds membres des équations précédentes à ne contenir que les quantités A,B,C,D etc, et un indice infinie , c'est-à-dire les quantités connues A,B,C,D etc, qui entrent dans les équations (a); les coefficients seront les différents produits que l'on peut faire en combinant les carrés des nombres I^2 2^2 3^2 4^2 5^2 à l'infinie.
Il faut seulement remarquer que le premier des carrés I^2 n'entrera point dans les coefficients de la valeur de a_1; que le second carrés 2^2 n'entrera point dans les coefficients de la valeur de b_2, que le troisieme carrés 3^2 sera seul omis parmi ceux qui servent à former les coefficient de la valeur de c_3, ainsi du reste à l'infini. On aura donc pour les valeurs de b_2, c_3, d_4 et e_5 etc et par conséquent pour celles de b, c, d et e, etc des résultats entièrement analogues à celui que l'on a trouvé plus haut pour la valeur du premier coefficient a_1.
Si maintenant on représente par :.
P_2 les quantités {(I/I^2) + (I/3^2) + (I/4^2) + (I/5^2) + etc }.
Q_2 les quantités {(I/I^2 3^2 ) + (I/I^2 4^2) + (I/I^2 5^2) + (I/3^2 4^2) + (I/3^2 5^2) + etc }.
R_2 les quantités {(I/I^2 3^2 4^2) + (I/I^2 3^2 5^2) + (I/3^2 3^2 4^2) + (I/3^2 4^2 5^2) + etc }.
S_2 les quantités {(I/I^2 3^2 4^2 5^2) + (I/I^2 4^2 5^2 6^2) + etc }.
Que l'on forme par la combinaison des fractions (I/I^2) (I/2^2) (I/3^2) (I/4^2) (I/5^2) etc, à l'infini en ométtant la seconde de ces fractions (I/2^2); on aura pour déterminer la valeur de b_2 l'équation:.
2b_2(I^2 - 2^2)/(I^2 3^2 4^2 5^2 6^2 etc) = A_2 - B P_2 + C Q_2 - D R_2 + E S_2 - F T_2 + etc.
En représentant en général par P_n, Q_n , R_n, S_n , T_n etc, les sommes des produits que l'on peut faire en combinant diversement toutes les fractions (I/I^2) (I/2^2) (I/3^2) (I/4^2) (I/5^2) etc, à l'infini après avoir seulement omis la fraction I/n^2, on aura en général pour déterminer les quantités a_1, b_2, c_3, d_4, e_5 etc, les équations suivantes:.
A_1 - B P_1 + C Q_1 - D R_1 + E S_1 - etc = a_1 (I/((2^2)(3^2)(4^2)(5^2)etc)).
A_2 - B P_2 + C Q_2 - D R_2 + E S_2 - etc = 3b_2 (I^2 - 2^2)/((I^2)(3^2)(4^2)(5^2)etc).
A_3 - B P_3 + C Q_3 - D R_3 + E S_3 - etc = 3c_3 (I^2 - 3^2)(2^2 - 3^2)/((I^2)(2^2)(4^2)(5^2)(6^2)etc).
A_4 - B P_4 + C Q_4 - D R_4 + E S_4 - etc = 4d_4 (I^2 - 4^2)(2^2 - 4^2)(3^2 - 4^2)/((I^2)(2^2)(3^2)(5^2)(6^2)etc).
etc.
Si l'on considère maintenant les équations (e) qui donnent les valeurs des coefficients a, b, c, d, etc, on aura les résultats suivants:.
a((2^2 - I^2)(3^2 - I^2)(4^2 - I^2)(5^2 - I^2) etc)/(2^2 3^2 4^2 5^2 etc) = A - B P_1 + C Q_1 - D R_1 + E S_1 - F T_1 etc.
2b((I^2 - 2^2)(3^2 - 2^2)(4^2 - 2^2)(5^2 - 2^2) etc)/(I^2 3^2 4^2 5^2 etc) = A - B P_2 + C Q_2 - D R_2 + E S - etc.
3c((I^2 - 2^2)(3^2 - 2^2)(4^2 - 2^2)(5^2 - 2^2) etc)/(I^2 2^2 4^2 5^2 etc) = A - B P_3 + C Q_3 - D R_3 + E S_3 - etc.
4d((I^2 - 4^2)(2^2 - 4^2)(3^2 - 4^2)(5^2 - 4^2) etc)/(I^2 2^2 3^2 5^2 etc) = A - B P_4 + C Q_4 - D R_4 + E S_4 - etc.
etc.
En distinguant quels sont les facteurs qui manquent aux numérateurs et aux dénominateurs pour y compléter la double série des nombres naturels, on voit que la fraction se réduit dans la premiere équation à l/I I/2, dans la seconde à - 2/2 2/4, dans la troisième à 3/3 3/6, dans la quatrième à - 4/4 4/8 en sorte que les produits qui multiplient a, 2b, 3c, 4d etc, sont alternativements 1/2 et -1/2, il ne s'agit donc plus que de trouver les valeurs P_1 , Q_1, R_1, S_1; P_2 , Q_2, R_2, S_2; P_3 , Q_3, R_3, S_3; etc.
Pour y parvenir, on remarquera qu'on peut faire dépendre ces valeurs de celle des quantités P, Q, R, S, T etc, qui représentent les différents produits que l'on peut former avec les fractions (I/I^2)(I/2^2)(I/3^2)(I/4^2)(I/5^2)(I/6^2) etc, sans en omettre aucune. Quant à ces derniers produits, leurs valeurs sont données par les séries des développement de sinus, nous représenterons donc les séries:.
(I/I^2) + (I/2^2) + (I/3^2) + (I/4^2) + (I/5^2) + etc par P.
(I/I^2 2^2) + (I/I^2 3^2) + (I/I^2 4^2) + (I/2^2 3^2) + (I/2^2 4^2) + (I/3^2 4^2) + etc par Q.
(I/I^2 2^2 3^2) + (I/I^2 2^2 4^2) + (I/I^2 3^2 4^2) + (I/2^2 3^2 4^2) + etc par R.
(I/I^2 2^2 3^2 4^2) + (I/2^2 3^2 4^2 5^2) + (I/I^2 2^2 3^2 5^2) + etc par S.
ainsi de suite.
La série sin x = x - (x^3/2.3) + (x^5/2.3.4.5) + (x^7/2.3.4.5.6.7) + etc .
Nous fournira les quantités P, Q, R, S, T etc, en effet la valeur du sinus étant exprimer par l'équation:.
sin x = x(I - x^2/(I^2 pi^2))(I - x^2/(2^2 pi^2))(I - x^2/(3^2 pi^2))(I - x^2/(4^2 pi^2))(I - x^2/(5^2 pi^2))etc.
On aura I - (x^2/2.3) + (x^4/2.3.4.5) - (x^6/2.3.4.5.6.7) + etc = (I - x^2/(I^2 pi^2))(I - x^2/(2^2 pi^2))(I - x^2/(3^2 pi^2))(I - x^2/(4^2 pi^2))etc, d'ou l'on conclu immédiatement:.
P =pi^2/(2.3).
Q =pi^4/(2.3.4.5).
R =pi^6/(2.3.4.5.6.7).
S =pi^8/(2.3.4.5.6.7.8.9).
etc.
Supposons maintenant que P_n, Q_n, R_n, S_n, etc représentent les sommes de produits différents que l'on peut faire avec les fractions I/I^2 I/2^2 I/3^2 I/4^2 I/5^2 etc, dont on aura séparé la fraction I/n^2, n étant un nombre entier quelconque, il s'agit de déterminer P_n, Q_n, R_n, S_n, etc au moyen de P, Q, R, S, etc, si l'on désigne par I - qP_n + q^2Q_n - q^3R_n + q^4S_n - etc, les produits des facteurs (I - q/I^2)(I - q/2^2)(I - q/3^2)(I - q/4^2) etc, parmi lesquels on aurait omis le seul facteur (I - q/n^2), il faudra qu'en multipliant par (I - q/n^2) la quantité I - qP_n + q^2Q_n - q^3R_n + q^4S_n - etc, on trouve I - qP + q^2Q - q^3R + q^4S - etc.
Cette comparaison donne les relations suivantes :.
P_n + I/n^2 = P .
Q_n + P_nI/n^2 = Q .
R_n + Q_nI/n^2 = R .
S_n + R_nI/n^2 = S .
etc.
ou P_n = P - I/n^2.
Q_n = Q - (I/n^2)P + I/n^4.
R_n = R - (I/n^2)Q + (I/n^4)P - I/n^6.
S_n = S - (I/n^2)R + (I/n^4)Q - (I/n^6)P + I/n^8.
En employant les valeurs connues de P, Q, R, S et faisant successivement n = 1, 2, 3, 4, 5 etc, on aura les valeurs de P_1, Q_1, R_1, S_1 etc, celles de P_2, Q_2, R_2, S_2 etc, celles de P_3, Q_3, R_3, S_3 etc.
Il resulte de tout ce qui précéde que les valeurs de a, b, c, d, e,etc déduites des équations :.
a + 2b + 3c + 4d + 5e + etc = A.
a + 2^3b + 3^3c + 4^3d + 5^3e + etc = B.
a + 2^5b + 3^5c + 4^5d + 5^5e + etc = C.
a + 2^7b + 3^7c + 4^7d + 5^7e + etc = D.
a + 2^9b + 3^9c + 4^9d + 5^9e + etc = D.
etc.
Sont exprimées ainsi:.
(1/2)a = A - B (pi^2/2.3 - I/I^2) + C( pi^4/2.3.4.5 - (I/I^2) (pi^2/2.3) + I/I^4) - D ( pi^6/2.3.4.5.6.7 - (I/I^2) (pi^4/2.3.4.5) + (I/I^4) (pi^2/2.3) - I/I^6) + E ( pi^8/2.3.4.5.6.7.8.9 - (I/I^2) (pi^6/2.3.4.5.6.7) + (I/I^4) (pi^4/2.3.4.5) - (I/I^6)(pi^2/2.3) + I/I^8) - etc.
(-1/2)2b = A - B (pi^2/2.3 - I/2^2) + C( pi^4/2.3.4.5 - (I/2^2) (pi^4/2.3) + I/2^4) - D ( pi^6/2.3.4.5.6.7 - (I/2^2)(pi^4/2.3.4.5) + (I/3^4) (pi^2/2.3) - I/3^6) + E ( pi^8/2.3.4.5.6.7.8.9 - (I/3^2) (pi^6/2.3.4.5.6.7) + (I/3^4) (pi^4/2.3.4.5) - (I/3^6)(pi^2/2.3) + I/3^8) - etc.
(-1/2)4d = A - B (pi^2/2.3 - I/4^2) + C( pi^4/2.3.4.5 - (I/4^2) (pi^4/2.3) + I/4^4) - D ( pi^6/2.3.4.5.6.7 - (I/4^2) (pi^4/2.3.4.5) + (I/4^4) (pi^2/2.3) - I/4^6) + E ( pi^8/2.3.4.5.6.7.8.9 - (I/4^2) (pi^6/2.3.4.5.6.7) + (I/4^4) (pi^4/2.3.4.5) - (I/4^6)(pi^2/2.3) + I/4^8) - etc.
etc.
Connaissant les valeurs de a, b, c, d, e, f, etc, on les substituera dans l'équation proposée:.
φ x = a sin x + b sin 2x + c sin 3x + d sin 4x + ..... etc. et mettant aussi, au lieu des quantités A,B,C,D,E,F,etc les valeurs φ' 0, φ''' 0, φ''''' 0, φ''''''' 0, etc, on aura l'équation générale:.
(1/2)pi φ x = sin x {φ' 0 + φ''' 0(pi^2/2.3 - I/I^2) + φ''''' 0( pi^4/2.3.4.5 - (I/I^2) (pi^2/2.3) + I/I^2) + φ''''''' 0 ( pi^6/2.3.4.5.6.7 - (I/I^2) (pi^4/2.3.4.5) + (I/I^4) (pi^2/2.3) - I/I^6) + etc}.
(-1/2)sin2x = {φ' + φ''' 0 (pi^2/2.3 - I/2^2) + φ''''' 0( pi^4/2.3.4.5 - (I/2^2) (pi^4/2.3) + I/2^4) + φ''''''' 0 ( pi^6/2.3.4.5.6.7 - (I/2^2) (pi^4/I.3.4.5) + (I/2^4) (pi^2/2.3) - I/2^6) + etc}.
(1/3)sin3x = {φ' + φ''' 0 (pi^2/2.3 - I/3^2) + φ''''' 0( pi^4/2.3.4.5 - (I/3^2) (pi^2/2.3) + I/3^4) + φ''''''' 0( pi^6/2.3.4.5.6.7 - (I/3^2) (pi^4/2.3.4.5) + (I/3^4) (pi^2/2.3) - I/3^6) + etc}.
(-1/4)sin4x = {φ' + φ''' 0 (pi^2/2.3 - I/4^2) + φ''''' 0( pi^4/2.3.4.5 - (I/4^2) (pi^4/2.3) + I/4^2) + φ''''''' 0( pi^6/2.3.4.5.6.7 - (I/4^2) (pi^4/2.3.4.5) + (I/4^4) (pi^2/2.3) - I/4^6) + etc} (A).
etc.
On peut se servir de la serie précédente pour réduire en série de sinus, d'arc multiples une fonction proposée dont le developpement ne contient que des puissances impaires de la variable.
Le cas qui se présente le premier est celui où on aurait φ x = x, on trouve alors φ'0 = 1, φ''' 0 = 0, φ''''' 0 = 0, ainsi du reste, on aura donc la série:.
(1/2)x = sin x - (1/2)sin2x + (1/3)sin3x - (1/4)sin4x + etc.
Qui a été donnée par Euler.